La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

ANTECEDENTES HISTORICO.

En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa.

Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en primer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera revolución (fue comparada con la revolución industrial).

Mas tarde se vera surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: como algoritmo del infinito, y como instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales.

En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del calculo de la probabilidad y de la geometría proyectiva.

El advenimiento de la geometría analítica esta vinculado con el gran filósofo Rene Descartes (1596-1650).

La geometría analítica se conoce también con le nombre de geometría cartesiana.

En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.

El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se encuentra en la obra “geometrie” (1637), tratado de poco mas de cien paginas. Su aportación principal es la unificación de del álgebra con la geometría; su fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una línea.

El primer capitulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la geometría.

En el libro primer capitulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el calculo de la aritmética se relaciona con las operaciones geométricas.

Otro gran matemático fue Fermat (1601-1665) contemporáneo de Descartes, realizo trabajos relacionados con la geometría analítica en el año 1629 y cuya aproximación a la Geometría Analítica es mas exacta a la obra de descartes.

La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar ecuaciones con dos variables, considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas.

Rene Descartes y su famoso “DISCURSO DEL MÉTODO” es un tratado celebre para conducir bien las razón y buscar la verdad en las ciencias.

MODERNOS AVANCES.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

Pendiente de una Recta

Es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.
Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Ecuación punto-pendiente

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

Se obtiene:

Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director

= (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo

Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director

igual (-2, 1).

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

Si en la ecuación general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

PROBLEMAS RESUELTOS

Hallar la pendiente "m" y el ángulo de inclinación Ø de las rectas determinadas por los pares de los puntos siguientes:

1) A (5, 2) , B (9, 6)

2) C (-4, 2) , D (-4, 7)

3) E (-6, 4) , F (5, -8)

4) G (5, -9) , H (10, -9)

SOLUCIÓN

Consideremos los puntos B, D, F y G con sus coordenadas

y los puntos A, B, C, E, G como las coordenadas

y tendremos:

Ahora tracemos la recta para verificar los cálculos anteriores.

Demostrar que los puntos A(-3, -9) B(4, -3) y C(11, 3) son colineales.

SOLUCIÓN

Si los puntos están sobre la misma línea recta, sus pendientes deben ser iguales.

DEMOSTRACIÓN:

Pendiente de AB =

Pendiente de BC =

Pendiente de AC =

Ahora tracemos los puntos para verificar que son colineales.

Demostrar que los puntos A(-4, -6), B(2, 4) y C(-9, -3) son los vértices de un triángulo rectángulo.

SOLUCIÓN

Ubicar los puntos dados en el plano cartesiano.

Las rectas AB y AC son perpendiculares y el producto de sus pendientes debe ser igual a uno negativo.

por lo tanto es un triángulo rectángulo.

Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A(5, 1), B(11, 7), y C(-2, 4):

Ubique los puntos en el plano cartesiano.

Para indicar el sentido de las flechas se toma el sentido antihorario.

SOLUCIÓN

Calcular la pendiente de cada recta.

Ahora apliquemos la fórmula del ángulo formado por 2 rectas que se cortan.

tan

= arc tan (-2.5) = -68° 11' (requerimos que sea positivo)

= 111° 49'

CONCLUSIÓN:

Geometría plana: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°.

= 180° con lo que queda demostrado.

Si el ángulo formado por las rectas L₁ y L₂ es de 30°, y la pendiente de L₁ es de 2, determina la pendiente de L₂.

SOLUCIÓN

despejando la incógnita m:

, factorizando:

, sustituyendo

m₂ = 8.7

Tracemos la gráfica respectiva.

El ángulo formado por la recta que pasa por los punto A(3, Y) y B(-4, 5) con la recta que pasa por C(-6, -8) y D(4, 0) es de 135° calcula el valor de Y.

SOLUCIÓN

1)Calculemos las pendientes de cada recta.

Sustituyendo tg 135° = -1 en la ecuación tendremos.

Y por lo tanto el punto A(3, Y) = (3, 4.2)

Ahora para la comprobación tracemos los puntos dados en el plano cartesiano.

Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)

....

SOLUCIÓN

x₂ – x₁ = 3 – 2 = 1 ; y₂ – y₁ = 5 – (-3) = 13 Luego,

Ejemplo 2

Sean P₁ (-1, 1) y P₂ (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:Coordenadas del punto medio M del segmento Coordenadas del punto P sobre el segmento tal que

..
..

SOLUCIÓN

En la figura adjunta se ilustra el segmento

y los puntos pedidos en a) y

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x _m, y _m) entonces:

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)
b) Como

entonces

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5) y (6):

Luego, las coordenadas del punto P, son: P

Ejemplo 3

Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.

......

SOLUCIÓN

Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) . Es decir y = x Igualmente, para la recta m, se tiene: y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.

Ejemplo 4

Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura

....
..

SOLUCIÓN

Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además, . Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1.Para la recta m, b = 1 y Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2. Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir, 0 = 2m – 2 , de donde m = 1. Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n. Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.

Ejemplo 5

Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta.

....
....

SOLUCIÓN

Para la recta l, se tiene: y – 3 = m_l (x + 1).

Pero m_l = tan 135º= - tan 45º = -1
Luego, y – 3 = - (x + 1)
ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l.

Para la recta r se tiene: y – 3 = m_r (x + 1).
Pero, m_r =

Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.

Ejercicio 6

Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.

SOLUCIÓN

En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta l que pasa por ellos.

Entonces, la ecuación de l viene dada por:

o equivalentemente,
3y – 9 = 2x – 2 o también,
2x – 3y + 7 = 0 (1)

La ecuación (1) corresponde a la recta pedida.Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo:

Ejercicio 7

Escribir las ecuaciones de las l, , l₂, l₃, y l₄ que aparecen en la figura adjunta.

..
..

SOLUCIÓN

Para l₁ se tiene: a = 1, b = -1
Luego,

es la ecuación del₁, es decir,
x – y = 1
Para l₂ :

, de donde

Para l₃ :

, es decir, x + y = 1

Finalmente, para l₄ de donde x + y = -1

Ejercicio 8

Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁(-1, -4) y P₂(5, 1)

..
..

SOLUCIÓN

Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1).Como P₁ y P₂ pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es: A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2) A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos de C obtenemos: y Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene: ó Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida.

Ejercicio 9

Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l. b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.

..
..

SOLUCIÓN

Sean l₁y l₂las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2).
Sean m₁, m y m₂ las pendientes de l_1,l y l₂respectivamente.

Como l₁t l₂entonces m₁= m y puesto que m = -3/4 se sigue que m₁= -3/4.
Ahora, usando la forma punto – pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l_1:

y simplificándola se puede escribir en la forma general:
3x + 4y – 11 = 0

b) Como l₂u l₁ , entonces m₂ = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m₂ = 4/3.
Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l₂:

y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0
3x + 4y – 11 = 0

Ejercicio 10

Probar analíticamente que la perpendicular trazada desde el ángulo recto a la hipotenusa, es media proporcional entre los segmentos que ésta determina sobre la hipotenusa.

..
..

SOLUCIÓN

Por conveniencia, se coloca el triángulo ABC como aparece en la fig. donde

es la hipotenusa.

Debemos probar que:

Si l₁denota la recta que pasa por los puntos A y B y l₂ la recta que pasa por los puntos C y B y m₁, m₂sus pendientes, entonces:

.
Como l₁u l₂, entonces m₁. m₂= -1
Esto es,

, de donde,

.
Ahora

.
Así que

, luego

lo que se quería demostrar.

Ejemplo 11

Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes cooordenados.

....

SOLUCIÓN

En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea

la distancia del origen a la recta.

Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella.

Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene:

Es decir,

de donde

Ejemplo 12

Reducir la forma general de la recta Ax + By + C = 0 (1), a la forma normal.

....

SOLUCIÓN

Caso 1. B Sin pérdida de generalidad se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo, bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por –1. La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en la forma normal es positivo. Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma: x cos a + y sen a - p = 0 (2) Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2). Entonces kA = cos a , kB = sen a y kC= -p Así que k²A² + k²B²= 1, de donde Se ha tomado solamente la raiz positiva puesto que B > 0 y 0^o 180^º. Al sustituir el valor de k asi obtenido en (3) completando la reducción de la ecuación (1) a la forma normal: , en la cual , y Caso 2. B = 0 En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde y esta última ecuación puede identificarse con la forma normal x – p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y.

Ejemplo 13 (distancia de un punto a una recta).

Calcular la distancia del punto P(x₁, y₁) a una recta l.

....

SOLUCIÓN

Consideremos una recta l y el punto P(x₁, y₁) que no pertenece a la recta.

Suponga que la ecuación de la recta l ha sido reducida a la forma normalx cos a + y sen a - p = 0 (1)
Usando el método del ejemplo 12. La distancia d entre P₁ y l puede considerarse positiva o negativa de acuerdo a que p esté por encima o por debajo de l.

Puesto que p y a son respectivamente, el intercepto normal y el ángulo normal de l, se sigue entonces que (p + d) y a son el intercepto normal y el ángulo normal de la recta l₁que contiene al punto P(x₁, y₁) y es paralela a l. En consecuencia, la forma normal de la recta l₁es:
x cos a + y sen a - (p + d) = 0 (2)
Como P(x₁, y₁) gl₁, satisface entonces la ecuación (2).
Es decir, x₁ cos a + y₁ sen a - (p + d) = 0
De donde, d = x₁ cos a + y₁ sen a - p (3)
Al comparar las ecuaciones (3) y (1) podemos establecer la siguiente regla:

Regla: Para encontrar la distancia d entre una recta l y un punto dado, sustituimos las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de l.

Así por ejemplo, como

, representa la forma normal de la recta Ax + By + C = 0, con B > 0, se sigue entonces que la distancia del punto P(x₁, y₁) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada por:

donde el signo de d indica que el punto P(x₁, y₁) está por encima o por debajo de la recta l.

En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:

Ejemplo 14

a) Encontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P(17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. b) Encontrar el punto de intersección de las rectas perpendiculares del literal a). c) Encontrar la distancia del punto de intersección obtenido en b) y el punto P dado en a).

....

SOLUCIÓN

a) Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0 es

entonces,
si m₁ denota la pendiente de la perpendicular se sigue que

.Asi que de la recta que se busca, se conoce su pendiente

y el punto P(17, 12). En consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por:

ó 12x – 5y – 144 = 0 es la ecuación general de la recta pedida.

b) Para encontrar el punto de intersección, entre las rectas, se resuelve simultáneamente
el sistema:

5x + 12y – 60 = 0 (1)12x – 5y – 144 = 0 (2)

Para ello, se multiplica por 5 la ecuación (1) y se le suma la ecuación (2) multiplicada por 12. Así:

25x + 60y – 300 = 0144x – 60y – 1728 = 0
169x – 2028 = 0

de donde x = 12 es la abscisa del punto de intersección.
Reemplazando el valor de x asi obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de intersección entre las rectas. Es decir P_I(12, 0) es el punto de intersección pedido.
En la fig. se ilustra la situación planteada en los literales a) y b).

c) Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:

Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y P_I es usando la fórmula de la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuación:
5x + 12y – 60 = 0.
En efecto,

Ejemplo 15

Usando un procedimiento similar al del ejemplo 14, deducir la fórmula de la distancia del punto P(x₁, y₁) a la recta de ecuación Ax + By + C = 0.

....

SOLUCIÓN

Considere en el plano, la recta l de ecuación Ax + By + C = 0 (1) y el punto P(x₁, y₁) del plano que no esta en la recta .

La pendiente de la recta l viene dada por

. Si llamamos n a la perpendicular trazada desde P(x₁, y₁) a la recta l, entonces la pendiente de n es

y como P(x₁, y₁) está sobre n, se tiene entonces que

(2) representa la ecuación de n.

De (2) se deduce que:

De donde:

Asi que

(3)

representan las ecuaciones paramétricas de la recta n.

A cada valor de l le corresponde un punto de n.

Así, por ejemplo, cuando l = 0, x (0) = x₁, y (0) = y₁ osea que estamos en el punto P(x₁, y₁) de n.

Si H_I (x_I, y_I) denota el punto de intersección de las rectas l y n, entonces existe un valor del , (l _H) tal que

(4)

puesto que H_I În, por lo tanto satisface (3).
Igualmente, como H_IÎl, entonces H_I satisface su ecuación. Esto es, Ax₁ + By₁ + C₁ = 0 y sustituyendo los valores de (4) podemos escribir:
A (x₁+ l_HA) + B (y₁+ l_HB) + C = 0
ó Ax₁+ By_{1 +}l_H (A² + B²) + C = 0
De donde,

(5)
Al sustituir, (5) en (4), permitiría conocer las coordenadas x_I, y_I del punto de intersección en términos de las cantidades conocidas A, B, C, x₁, y₁.
De otro lado, si

denota la distancia del punto P(x₁, y₁) al punto H_I (x_I, y_I), se tiene entonces aplicando la fórmula de distancia que:

y como de acuerdo a (5),

, se tiene finalmente que:

Ejemplo 16

Determine las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas 3x – 4y – 12 = 0 y 12x – 5y + 7 = 0.

....

SOLUCIÓN

En la figura adjunta aparecen las rectas de ecuaciones dadas, asi como también el punto P de intersección entre ellas.

Una de las bisectrices es:

Al simplificar la última igualdad se obtiene: 21x + 27y + 191 = 0

La otra bisectriz es :

, que luego de simplificar, se obtiene:
9x – 7y – 11 = 0.

Ambas rectas, pueden ahora trazarse a través de P, punto de intersección de las rectas dadas.

Ejemplo 17

Encuentre la distancia y la ecuación de la paralela media entre las rectas de ecuaciones: l: 3x + 2y = 6 y r: 3x + 2y = -12

....

SOLUCIÓN

En primer lugar se trazan las rectas en el plano cartesiano.

Si b₁ denota el intercepto de la recta lcon el eje y, entonces b₁ = 3.
Si b₂ denota el intercepto de la recta rcon el eje y, entonces b₂ = -6.
Luego, la paralela media entre l y rtiene por ecuación:

; es decir,

Ahora, la distancia

entre las paralelas viene dada por:

Ejemplo 18

Encontrar la ecuación de la familia de rectas que equidistan 15 unidades del origen de coordenadas.

....

SOLUCIÓN

La ecuación de cualquier recta del plano, salvo las paralelas al eje y, pueden escribirse en la forma: y = mx + b o también mx – y + b = 0.Nótese que en esta última ecuación hay dos parámetros m y b. Para las rectas de la familia buscada, se debe cumplir la condición d (0, mx – y + b) = 15 (distancia del origen a la recta es igual a 15). Es decir, de donde, Esta es la relación que debe existir entre las parámetros m y b de la familia de rectas buscada. Por lo tanto, m Î R es la ecuación de la familia de rectas, cuya distancia al origen es 15 unidades.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Ejemplos

1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es

2.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3.Sea r la recta de ecuación:

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

Dada la recta r:

4.Hallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

Ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector

tiene que ser coplanario con

Ecuaciones paramétricas del plano

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:

Vector normal

El vector

es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Si P(x₀, y₀, z₀) es un punto del plano, el vector

es perpendicular al vector

, y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

Ejercicios

1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a

2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector

3.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).

4.Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

5.Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

5.Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0.

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano,

, será el vector director de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

7.Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuación:

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector

Coordenadas del punto medio de un segmento

Sean A (x₁, y₁, z₁) y B (x₂, y₂, z₂) los extremos de un segmento, el punto mediodel segmento viene dado por:

Ejemplo

Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

Coordenadas del baricentro de un triángulo

Sean A (x₁, y₁, z₁), B (x₂, y₂, z₂) y C (x₃, y₃, z₃) los vértices de un triángulo, lascoordenadas del baricentro son:

Ejemplo

Sean A = (1, −1, 3), B = (3, 2, -2) y C = (−1, 4, 1) los vértices de un triángulo. Determinar las coordenadas del baricentro.

Puntos alineados

Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto elrango de los vectores determinados por ellos es 1.

Ejemplo

Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están alineados.

Los puntos no están alineados.

Puntos coplanarios

Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.

Ejemplo

1. Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2, 2, 2) son coplanarios.

Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:

Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.

Ecuaciones de la recta. Ejercicios

1Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).

2De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3).

4Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

5Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y - 4 =0

2 x - 2y + 1= 0

3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

7 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2).

9 Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

10 La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n.

11Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

12De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

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martes, 29 de enero de 2013

GEOMETRÍA ANALÍTICA.