PRODUCTO DE POLINOMIO

SECCIONES CONICAS

Es la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas

      CLASIFICACION DE LAS SECCIONES CONICAS

ELIPSE

es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

α < β <90º

La elipse es una curva cerrada.

Parábola

 Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

α = β

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

Ejemplo

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CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de puntos que equidistante de uno fijo llamado centro. La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro se denomina radio.

EJEMPLO

ü  Halla la ecuación de la circunferencia de centro el punto C=(0,1) y que pasa por el punto A(4,4).

x²+(y-1)²=r²

4²+(4-1)²=r²

25=r²; 5 = r

x²+(y-1)²=5²

ü  Representa la ecuación 2 x² +2 y² - 4x +6 y -5= 0 una circunferencia? Justifica la respuesta. En caso afirmativo, ¿cuál es el centro y el radio?

Evidentemente los coeficientes de x² e y² son iguales y no tiene término en xy, luego es una circunferencia.

Dividimos la ecución por dos

x² + y² - 2x +3 y -5/2= 0 y completamos cuadrados

x² - 2x+1+y² +2 y 3 1/2 + (3/2)²-5/2= =0+1+(3/2)²

(x-1)² +(y+3/2)² =5/2+1+9/4

(x-1)² +(y+3/2)² =23/4

La circunferencia tiene por centro el punto (1,-3/2) y por radio Ö23/4

Hipérbola

Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

α > β

La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

Aplicaciones de las secciones cónicas

 

"Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol" (Primera Ley de Kepler, 1609).

PROPIEDADES REFLECTORAS

Las aplicaciones principales de las parábolas incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos originados en el foco de la parábola se reflejan hacia afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje de la parábola. Aun mas el tiempo que tarda en llegar cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la parábola ( y por lo tanto estas propiedades se utilizan en linternas, faros de automviles, en antenas de transmisión de microondas.

Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor sobre una superficie (denominado elipsoide)

Y el interior es cromado para producir en el espejo, la luz de un foco será reflejada hacia el otro foco. Los rayos reflejan el sonido de la misma manera y esta propiedad se utiliza para construir galería de susurros, habitaciones en las que una persona parada en foco puede escuchar un sonido emitido desde el otro foco como por ejemplo el Salon de los Estatutos del Capitolio en EEUU.

Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector