SISTEMA DE ECUACIONES

Historia de las Ecuaciones

Rama de la matemática que estudia las raíces de Ecuaciones Polinomicas y los métodos de búsqueda de dicha raíces.

Hasta el siglo XVII la teoría de la ecuación estuvo limitada pues los matemáticos no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podrían ser erices de ecuaciones.

Solos los antiguos indios como Brabmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficiente negativa en los polinomios, envés de un solo tipo de ecuación de segundo grado de ecuaciones.

Otros importantes descubrimientos del modo antiguo que se puede encontrar en los escritos del siglo I del científico matemático Heron de Alejandrina, es un método de aproximación como 3/2 para calcular una mezcla nueva [3/2+2/5/2)]/2 esta aproximidades y cálculos repetidos se denomina interacciones.

Conceptos

Sistema de ecuación: Conjunto de dos o más ecuaciones cuya solución es común a todas ellas.

Ecuación: Igualdad que contiene una o más incógnitas.

Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos.

Variable: Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.

Sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

Consiste en despejar una incógnita, en función de otra, en una de las ecuaciones y sustituir el valor en otra letra.

Paso para resolver por este método

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Método de igualación

Consiste este método en hallar el valor de la misma incógnita, en función de otra, en ambas ecuaciones, e igualamos los resultados.

Paso para resolver por este método

1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:

Pasos para resolver este método.
  Despejamos a x en ambas ecuaciones.
  4x-6y = -20
  2x+4y = 32
  4x-6y = -20 2) 2x+4y = 32
X = 20+6y X = 32-4y
4 2
  Igualamos los valores de las dos X y multiplicamos por el dividiendo de cada uno en viceversa.
-20+6y = 32-4y 2(-20+6y) = 4(32-4y)
4 2 -40+12y =128-16y
  Agrupamos los términos semejantes y factorizamos hasta encontrar a Y.
-40+12y = 128-16y
16y+12y = 128+40
28y = 168
28 28
Y = 6
  Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.
2x+4y =32
2x+4(6) = 32
2x+24 = 32
2x = 32-24
2x = 8
2 2
X = 4
Conj. Solución es (6,4)

Método de reducción

Método de reducción, uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Si el sistema es de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, este método consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con una única incógnita.

Pasos para resolver por este método.

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Método de Gauss

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

Sistemas de ecuaciones no lineales

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante.

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

Ejemplo

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3

Ejercicios propuestos

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184

 El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

Construcción de un Sistema de ecuación con 3 incógnitas

1- Darle valor a X Y Z.

X=2

Y=5

Z=9

2- Construir un sistema de ecuación sin la igualdad.

2x+6y-5z=

5x-8y+8z=

7x+6y+9z=

3- Ahora como tenemos nuestro sistema de ecuación hecho, sustituimos las letras por los valores asignados y multiplicamos y sumamos o restamos según los signos.

2x+6y-5z=

2(2)+6(5)-5(9)=

4+30-49= -14

5x-8y+8z=

5(2)-8(5)+8(9)=

10-40+432= 402

7x+6y+9z=

7(2)+6(5)+9(9)=

14+30+81= 125

4- Ahora ponemos el resultado de lo hecho anteriormente en el sistema de ecuación hecho. Ya tenemos nuestro sistema hecho.

2x+6y-5z= -14

5x-8y+8z= 402

7x+6y+9z= 125