PROGRESION ARITMETICA

Es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, r, que llamaremos diferencia. También se puede definir como una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por r.

El término central de una progresión aritmética

En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central a_c es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a₁ y a_n de ésta.

Sea la progresión aritmética a₁, a₂, a₃,...., a_c,...., a_n-2, a_n-1, a_n de diferencia d, y término central a_c. De acuerdo con la expresión del término general en

a_n = a₁ + (n - 1) · r

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

Suma de n términos de cualquier progresión aritmética

Será igual a la suma del primero con el último multiplicada por el número de parejas, lo que nos da la siguiente fórmula:

Progresión geométrica

Es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48,

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2. 

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1^er término.

a_n = a₁ · r^n-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

a_n = 3· 2^n-1 = 3· 2ⁿ · 2^-1 = (3/2)· 2ⁿ

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

a_n = a_k · r^n-k

a₄= 24, k=4 y r=2.

a_n = a₄ · r^n-4

a_n = 24· 2^n-4= (24/16)· 2ⁿ = (3/2) · 2ⁿ

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3,      6, 12, 24 ,      48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Producto de dos términos equidistantes

Sean a_i y a_j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

a_i . a_j = a₁ . a_n

a₃ · a_n-2 = a₂ · a_n-1 = ... = a₁ · a_n

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Evaluativo

• La progresión 1, 3, 5, 7 ….. es una progresión

A) Geométrica con r = 4
B) Aritmética con, d = 4
C) Geométrica con r = 2
D) Aritmética con, d = 2

• 2. La progresión 7, 10, 13 ….. es una progresión

A) Aritmética con, d = 5
B) Aritmética con, d = 3
C) Geométrica con r = 3
D) Geométrica con r = 5

• 3. El termino 12º de la progresión 5, 10, 15 . . . es

A) R= 65
B) R= 50
C) R= 70
D) R= 60

• 4. El termino 28º de la progresión 19, 12, 5 . . . . es

A) R= 370
B) R= 170
C) R= 70
D) R= - 170

• 5. El termino 19º de la progresión -5/6, -1/3 . . . . es

A) R= 8
B) R= 6/49
C) R= - 49/6
D) R= 49/6

• 6. Si el término 15º de una progresión aritmética es 46 y la diferencia es 3. ¿Cuál es el primer término?

A) R=4
B) R=-4
C) R=10
D) R=14

• 7. Si el término 11º de una progresión aritmética es 10 y la diferencia es ½. ¿Cuál es el primer término?

A) R= 15
B) R= - 5
C) R= 5
D) R= 25

• 8. El 1er término de una progresión aritmética es 5y el término 18 es – 80. ¿Cuál es la diferencia?

A) R= -5
B) R= 5
C) R= -15
D) R= 15

• 9. ¿Cual es la diferencia de la progresión -1, . . . . . . . – 4 donde – 4 es el termino 10º?

A) R= 2/3
B) R= 1/3
C) R= 3
D) R= -1/3

• 10. ¿Cuántos términos tiene la progresión 9,12 . . . . . . . 150?

A) R= 68
B) R= 58
C) R= 48
D) R= 40

• 11. ¿La suma de los primeros 24 términos de la progresión 42, 32, 22, …. es?

A) R= 2752
B) R= 1752
C) R= 1052
D) R= -1752

• 12. ¿Los tres medios aritméticos interpolados entre 3 y 11 son?

A) R= 4,7,10
B) R= 6,8,10
C) R= 4,6,8
D) R= 5,7,9