MATRICES

INTRODUCCION

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a_ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a_ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a₂₅ será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Ejemplo

A=(a₁₁ a₁₂ ... a_1n)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Ejemplo

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.

Los elementos a_ij con i = j, o sea a_ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a_ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo

En la matriz la diagonal principal está formada por (1, 1, 9) y la diagonal secundaria por (0, 1, 3).

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A^t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A^t , la segunda fila de A es la segunda columna de A^t, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces A^t es de orden n ´ m.

Ejemplo

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A^t, es decir, si a_ij = a_ji " i, j.

Ejemplos

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si a_ij = –a_ji " i, j.

Ejemplos

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·A^t = I.

OPERACIONES DE MATRICES(CALCULO MATRICIAL)

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (-A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A = (a_ij) y un número real k  R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

k · A=(k a_ij)

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A  M_mxn, a, b 

a · (A + B) = a · A + a · BA,B  M_mxn , a  

(a + b) · A = a · A + b · A A  M_mxn , a, b  

1 · A = A A  M_mxn

os matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A^-1  = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1  = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1  = A

(k · A)^-1  = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1  = (A ^-1)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

• Todos sus coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.

F₃ = 2F₁

F₄ es nula

F₅ = 2F₂ + F₁

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F₂ = F₂ - 3F₁

F₃= F₃ - 2F₁

Por tanto r(A) = 3.

Matrices. Resumen

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A_mxn o (a_ij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a_ij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

Matriz fila:

Es una matriz constituida por una sola fila.

Matriz columna:

Es una matriz con una sola columna.

Matriz rectangular:

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada:

La que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.

Matriz nula:

Todos los elementos son nulos.

Matriz triangular superior:

Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior:

Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.

Matriz diagonal:

Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α · A)^t = α· A^t

(A ·  B)^t = B^t  · A^t

Matriz regular:

Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:

Es aquella que no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente:

Si A² = A.

Matriz involutiva:

Si A² = I.

Matriz simétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=-A^t.

Matriz ortogonal:

Si verifica: A·A^t= I

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades

• Interna:
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = A
• Elemento opuesto:A + (-A) = O
• Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij)

Propiedades

• a ·  (b · A) = (a · b) · A A  M_mxn, a, b 
• a  ·  (A+B) = a · A + a · B A,B  M_mxn , a  
• (a+b) · A = a · A+b · A A  M_mxn , a, b  
• 1 · A = A A  M_mxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

• Asociativa:
  A · (B · C) = (A · B) · C 
• Elemento neutro:
  A · I = A
• No es Conmutativa:A · B ≠ B · A
• Distributiva del producto respecto de la suma:A · (B + C) = A · B + A · C
  

Matriz inversa

A · A^-1  = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1  = B^-1 · A^-1

(A^-1 ) ^-1  = A

(k · A)^-1  = k^-1 · A^-1

(A ^t) ^-1  = (A ^-1) ^t

^EJEMPLO

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

2Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

3Hallar por determinantes la matriz inversa de:

4¿Para qué valores de x la matriz        no admite matriz inversa?

5Para qué valores de x la matriz       no admite matriz inversa?

Cálculo por el método de Gauss.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss.

Podemos descartar una línea si:

• Todos los coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.
  

  ACTIVIDAD 1 Ejercicios de ecuaciones matriciales

  1Dadas las matrices:
  
  Resolver la ecuación:
  A · X = B
  2Dadas las matrices:
  
  Resolver la ecuación:
  X · A + B = C
  3Siendo:
  
  Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
  
  
  
  
  
  4Siendo:
  
  Resolver la ecuación matricial:
  A X + 2 B = 3 C
  5Resolver las ecuación matricial:
  A · X + 2 · B = 3 · C
  
  6Resolver; en forma matricial, el sistema:
  
  7Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
  
  8Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.
  1 
  2 

  ACTIVIDAD 2 Matrices. Ejercicios

  1Sean las matrices:
  
  Efectuar las siguientes operaciones:
  (A + B) ²;       (A - B) ²;       (B) ³;        A · B ^t · C.
  
  
  2Sean las matrices:
  
  1Justificar si son posibles los siguientes productos:
  1(A ^t · B ) · C
  2(B · C^t ) · A^t
  2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C
  3Determina la dimensión de M para que C ^t · M sea una matriz cuadrada.
  
  
  3Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:
  
  4Siendo:
  
  Resolver la ecuación matricial:
  A X + 2 B = 3 C
  
  
  5Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
  1Representar esta información en dos matrices.
  2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

  ACTIVIDAD 3 Ejercicios y problemas de matrices

  1Dadas las matrices:
  
  Calcular:
  A + B;     A - B;     A x B;     B x A;     A^t.
  2Sean las matrices:
  
  Efectuar las siguientes operaciones:
  (A + B) ²;       (A - B) ²;       (B) ³;        A · B ^t · C.
  3Dadas las matrices:
  
  1Justificar si son posibles los siguientes productos:
  1(A ^t · B ) · C
  2(B · C^t ) · A^t
  2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C
  3Determina la dimensión de M para que C^t · M sea una matriz cuadrada.
  4 Demostrar que: A² - A - 2 I = 0, siendo:
  
  5Sea A la matriz  . Hallar Aⁿ , para n  
  6Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz  para que resulte la matriz .
  7Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:
  
  8Calcular la matriz inversa de:
  
  9Calcular la matriz inversa de:
  
  10Calcular el rango de la matriz siguiente:
  
  11Hallar el rango de la matriz siguiente:
  
  12Calcular el rango de la matriz siguiente:
  
  13Siendo:
  
  Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
  
  
  
  
  
  14Siendo:
  
  Resolver la ecuación matricial:
  A X + 2 B = 3 C
  15Resolver; en forma matricial, el sistema:
  
  16Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
  
  17Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
  1Representar esta información en dos matrices.
  2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.
  18Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
  1.Representar la información en dos matrices.
  2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

  ACTIVIDAD 4 Matrices. Ejercicios y problemas

  1Dadas las matrices:
  
  Calcular:
  A + B;     A - B;     A x B;     B x A;     A^t.
  2Demostrar que: A² - A- 2 I = 0, siendo:
  
  3 Sea A la matriz  . Hallar Aⁿ , para n  
  4Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz 
  para que resulte la matriz .
  5Calcular la matriz inversa de:
  
  6 Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
  
  7    Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
  1.Representar la información en dos matrices.
  2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
  8 Calcular el rango de la matriz siguiente:
  
  9 Siendo:
  
  Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
  
  10Resolver; en forma matricial, el sistema: