Es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos. También se puede definir como la rama de la matemática que estudia las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas.

Círculo Trigonométrico: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes cartesianos o de coordenadas rectangulares y su radio mide la unidad.

Ángulos: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen común llamado vértice. Las semi-rectas son lados del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el lado final o terminal.

El Ángulo Geométrico es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser positivo o negativo. Si se considera al ángulo como una rotación de una semi-recta; bien en sentido contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo).

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de las razones trigonométricas

Tabla de razones trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos opuestos

Ángulos negativos

Mayores de 360º

Ángulos que difieren en 90º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Ejemplo

Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular el coseno de α

Seno del ángulo complementario

Seno del ángulo suplementario

Seno de ángulos que se diferencian en 180°

Seno del ángulo opuesto

Seno del ángulo negativo

Seno de un ángulo mayor de 360º

Seno de ángulos que diferencian en 90º

Seno de ángulos que suman en 270º

Seno de ángulos que se diferencian en 270º

Seno de una suma

Seno de una diferencia

Seno del ángulo doble

Seno del ángulo mitad

Transformación de una suma de senos en producto

Transformación de una diferencia de senos en producto

Transformación de un producto de senos en sumas

jemplo

Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular el seno de α.

Coseno del ángulo complementario

Coseno del ángulo suplementario

Coseno de ángulos que se diferencian en 180°

Coseno del ángulo opuesto

Coseno del ángulo negativo

Coseno de un ángulo mayor de 360º

Coseno de ángulos que diferencian en 90º

Coseno de ángulos que suman en 270º

Coseno de ángulos que se diferencian en 270º

Coseno de una suma

Coseno de una diferencia

Coseno del ángulo doble

Coseno del ángulo mitad

Transformación de una suma de cosenos en producto

Transformación de una diferencia de cosenos en producto

Transformación de un producto de cosenos en sumas

Ejemplo

Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular el coseno de α.

Tangente del ángulo complementario

Tangente del ángulo suplementario

Tangente de ángulos que se diferencian en 180°

Tangente del ángulo opuesto

Tangente del ángulo negativo

Tangente de un ángulo mayor de 360º

Tangente de ángulos que diferencian en 90º

Tangente de ángulos que suman en 270º

Tangente de ángulos que se diferencian en 270º

Tangente de una suma

Tangente de una diferencia

Tangente del ángulo doble

Tangente del ángulo mitad

ACTIVIDAD

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad

22π/5rad.

33π/10 rad.

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316°

2 10°

3 127º

3 Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5 Sabiendo que sec α = 2, 0< α <

/2, calcular las restantes razones trigonométricas.

6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225°

2 330°

3 2655°

4 −840º

7Comprobar las identidades:

8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo

9De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

10De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

11De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

Funciones trigonométrica son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.